常微分方程式

1階の線形常微分方程式

減衰解

1階の線形で減衰する常微分方程式 : du/dt=-u という形の方程式を計算するプログラム. この方程式の一般解は exp(-t) に比例する.

単なる差分近似

振動解

1階の線形で振動する常微分方程式 : du/dt=iωu という形の方程式を計算するプログラム. この方程式の一般解は exp(iωt) に比例する. 複素数を計算する問題としても使用できる.

オイラー法
- 計算結果
- このプログラムは, 安定性を満たすことができないので, 徐々に発散する.
後退オイラー法
- 計算結果
- 安定性を満たす計算手法であるが, 徐々に減衰している.
クランク=ニコルソン法
- 計算結果
- この計算手法は, 振動方程式を計算するのに適している.

2階の線形常微分方程式

微小振幅振り子

基礎物理学でよく考えられる単振動振り子の問題である. 線形の微分方程式 : d^2θ/dt^2=-ω^2θ という形で近似されている. この方程式には厳密解があり, 三角関数を一般解にもつ. ここでの計算は 4 次のルンゲクッタを用いている.

ルンゲクッタによる数値解
- この計算は, 初期位置 θ=1.0, 初速度 v=0.0 で計算している. しかし, 初速度などのパラメータを変化させることでいろいろ実験してみるとよいかもしれない.
- 計算結果
2 位のアダムズ-バッシュフォース法による数値解
- この計算は, 初期位置 θ=1.0, 初速度 v=0.0 で計算している. しかし, 初速度などのパラメータを変化させることでいろいろ実験してみるとよいかもしれない.
- 計算結果

減衰振動

基礎物理学でよく考えられる減衰振動の問題である. 線形の微分方程式 : d^2θ/dt^2=-2γdθ/dt-ω^2θ という形で近似されている. この方程式には厳密解があり, 指数関数と三角関数の積を一般解にもつ. ここでの計算は 4 次のルンゲクッタを用いている. 基礎物理学でよく考えるパターンが以下の 3 つであるので, それぞれについて計算を行った.

ルンゲクッタによる数値解
- この計算は, 初期位置 θ=1.0, 初速度 v=0.0 で計算している. しかし, 初速度などのパラメータを変化させることでいろいろ実験してみるとよいかもしれない.
- このプログラムは減衰係数と振動数を実行時に任意に指定することができる.
- 実行例
  - 過減衰
    - γ^2>ω^2 のとき
  - 臨界制動
    - γ^2=ω^2 のとき
  - 減衰振動
    - γ^2<ω^2 のとき

強制振動

基礎物理学でよく考えられる強制振動の問題である. 線形の微分方程式 : d^2θ/dt^2=-ω^2θ+focos(ω0t) という形で近似されている. この方程式には厳密解があり, 指数関数と三角関数の積を一般解にもつ. ここでの計算は 4 次のルンゲクッタを用いている. 基礎物理学でよく考えるパターンが以下の 3 つであるので, それぞれについて計算を行った.

ルンゲクッタによる数値解
- この計算は, 初期位置 θ=0.0, 初速度 v=1.0 で計算している. しかし, 初速度などのパラメータを変化させることでいろいろ実験してみるとよいかもしれない.
- このプログラムは減衰係数と振動数を実行時に任意に指定することができる.
- 実行例
  - 過減衰

基礎物理学でよく考えられる単振動振り子の問題であるが, これは実際は微小振幅として線形の微分方程式 : d^2θ/dt^2=-ω^2θ という形で近似されている. しかし, 有限の振幅をもつ振り子の運動方程式は, 非線形方程式 : d^2θ/dt^2=-ω^2 sin(θ) という形になっている. よって, ここではこの非線形微分方程式を数値的に解くことを考える. この方程式には厳密解があり, 楕円関数で記述される. ここでの計算は 4 次のルンゲクッタを用いている.

ルンゲクッタによる数値解
- この計算は, 初期位置 θ=1.0, 初速度 v=0.0 で計算している. しかし, 初速度などのパラメータを変化させることでいろいろ実験してみるとよいかもしれない.
- 計算結果1
  - 初期位置と速度を適当に設定することで, このような振動解ではない動きをみせる. これは, 初速度大きいか, 振動を開始させる位置が高いことによって, 振動せず円運動をすることを示している. 角度が増加するのは, 同じ方向に何回も回転していることを表している.
- 計算結果2
  - 同じ計算でも, 初期位置と初速度をそれほど大きいものにしなければ, 振動する振り子となる.